Project Euler - Problem 317

停滞、停滞をやっていきたい

Firecracker

Problem 317 (日本語訳)

地上から 100m の位置で爆竹が爆発して，大量のめちゃくちゃ細かい破片が全方向に初速度 v₀ = 20m/s で飛散するとき，破片群が地面に到達するまでに通過する領域の体積 (m³) を求めよ．

空気抵抗はなく，重力加速度 g = 9.81m/s² とする．

四捨五入して，小数点以下第 4 位までで答えよ．

爆竹を通り地面と垂直な平面でぶった切った断面を考える．適当に xy 座標系を定める．

垂直から時計回り $\theta$ の方向に飛散した破片の軌道は運動方程式をンべッと解いて

$\displaystyle y = - \frac{ g }{ 2 v_{0}^{2} \sin^{2} \theta } x^{2} + \frac{ \cos \theta }{ \sin \theta } x + 100$

のような放物線となる．少し整理するとこれは

$\displaystyle F(x, y, \theta) = g x^{2} - 2 v_{0}^{2} x \sin \theta \cos \theta + 2 v_{0}^{2} (y - 100) \sin^{2} \theta = 0$

$\theta$ の値を $0 < \theta < \pi$ の範囲で動かしたときに放物線 $F(x, y, \theta) = 0$ の通過する領域が， xy 平面における破片の通過範囲となる．

はい

外側のやんわりした放物線のようなもの，すなわち包絡線が求まってくれると嬉しいですが，これは

$\displaystyle F(x, y, \theta) = 0$

$\displaystyle \frac{ \partial }{ \partial \theta } F(x, y, \theta) = 0$

を連立させ $\theta$ を消去することで得られます．wiki でもみてください．

消去した結果，

$\displaystyle y = - \frac{ g }{ 2 v_{0}^{2} } x^{2} + \frac{ v_{0}^{2} }{ 2 g } + 100$

のようにたしかに放物線になります．

はい

あとはこれを y 軸の周りにぐるりと一回転させた通過体積を求めればおわりです．

$\displaystyle \int_{0}^{ \frac{ v_{0}^{2} }{ 2 g } + 100 } \pi x^{2} \mathrm{d} y = \int_{0}^{ \frac{ v_{0}^{2} }{ 2 g } + 100 } \pi \frac{ 2 v_{0}^{2} }{ g } \left( \frac{ v_{0}^{2} }{ 2 g } + 100 - y \right) \mathrm{d} y = \cdots = \frac{ \pi ( 200 g v_{0} + v_{0}^{3} )^{2} }{ 4 g^{3} }$

プログラミングいりませんでした．たまにこういう問題もある．