yukicoder - No.237

No.237　作図可能性

問題ページ

提示された Wikipedia で現代文の読解問題を解くと，
正 n 角形が作図可能であるための必要十分条件は

$n = 2^{m} F_1 F_2 \cdots F_k$

であることがわかる．
ここで，$m $ は非負整数で，$F_1, F_2, \cdots, F_k$ は全て異なるフェルマー素数．

フェルマー素数は $2^{2^{n}} + 1$ の形で表される素数で，現在知られているのは 3, 5, 17, 257, 65537 の 5 つのみであり，それ以降に存在するかどうかは未解決らしい．

少なくとも問題サイズ $10^{9}$ の範囲には存在しないので，この 5 つの素数の集合

$F = \{ 3, 5, 17, 257, 65537 \}$

について考えれば十分．

F の部分集合すべてに渡って要素の積を計算し(これを仮に $P$ とする)，$n = 2^{m} P$ で $3 \leq n \leq A$ を満たすような $n$ の個数をカウントしていく．

部分集合の列挙その他の操作についてはここが多分詳しい．

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS
#include <iostream>
#include <climits>
#include <cmath>
#include <string>
#include <vector>
#include <algorithm>
#include <queue>
#include <map>
#include <functional>
#include <set>
#include <numeric>
#include <stack>
#include <utility>
#include <time.h>
//#include "util.h"

using namespace std;
typedef unsigned uint;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;



//呪文
template <typename _KTy, typename _Ty> ostream& operator << (ostream& ostr, const pair<_KTy, _Ty>& m) { cout << "{" << m.first << ", " << m.second << "}"; return ostr; }
template <typename _KTy, typename _Ty> ostream& operator << (ostream& ostr, const map<_KTy, _Ty>& m) { if (m.empty()) { cout << "{ }"; return ostr;    } cout << "{" << *m.begin(); for (auto itr = ++m.begin(); itr != m.end(); itr++) { cout << ", " << *itr; } cout << "}"; return ostr; }
template <typename _Ty> ostream& operator << (ostream& ostr, const vector<_Ty>& v) { if (v.empty()) { cout << "{ }"; return ostr; } cout << "{" << v.front(); for (auto itr = ++v.begin(); itr != v.end(); itr++) { cout << ", " << *itr; }    cout << "}"; return ostr; }
template <typename _Ty> ostream& operator << (ostream& ostr, const set<_Ty>& s) { if (s.empty()) { cout << "{ }"; return ostr; } cout << "{" << *(s.begin()); for (auto itr = ++s.begin(); itr != s.end(); itr++) { cout << ", " << *itr; }    cout << "}"; return ostr; }
#define PI 3.14159265358979323846
#define EPS 1e-6
#define MIN(a,b) ((a)<(b)?(a):(b))
#define MAX(a,b) ((a)>(b)?(a):(b))
#define all(x) (x).begin(), (x).end()



int yuki0237()
{
    ll A, ans = 0;
    cin >> A;

    // Fermat prime
    ll fp[5] = { 3, 5, 17, 257, 65537 };

    // 00000 ~ 11111 までの整数 i と fp の部分集合とを対応させる
    for (int i = 0; i < (1 << 5); i++) {

        // 相異なるフェルマー素数の積
        ll prod = 1;

        // i の 2^b 桁目にビットが立っていれば fp[b] を乗算
        // 例 : i = 01101 に対応する fp の部分集合は { 3, 17, 257 } で，その積は prod = 13107
        for (int b = 0; b < 5; b++)
            if (i & (1 << b))
                prod *= fp[b];

        // prod * 2^m 角形 (m = 0, 1, 2,...) をカウント
        for (ll n = prod; n <= A; n <<= 1) {
            if(3 <= n) ans++;
        }

    }

    cout << ans << endl;

    return 0;
}

int main()
{
    //clock_t start, end;
    //start = clock();

    yuki0237();
    
    //end = clock();
    //printf("%d msec.\n", end - start);

    return 0;
}