Panaitopol Primes Problem 291 (日本語訳) 素数 $p$ がある正の整数 $x, y$ に対して $\displaystyle p = \frac{ x^{4} - y^{4} }{ x^{3} + y^{3} } $ を満たすとき，$p$ を Panaitopol 素数と呼ぶ． $5×10^{15}$ 未満の Panaitopol 素数はいくつあるか． (…

Project Euler 291 を解いていて 2n2 + 2n + 1 型の素数を列挙する必要性が生じたので纏めておく． ここ に n2 + 1 の場合の方法がありそれを参考にしている． なお証明は知らん

Zeckendorf Representation Problem 297 (日本語訳) フィボナッチ数列の各項は前の2つの項を足して生成される. 1 と 2 から始めて, 最初の 10 項は: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89 である. 全ての正整数はフィボナッチ数列の連続しない項の合計で一意に…

Cardano Triplets Problem 251 (日本語訳) 3 個の正整数の組 (a,b,c) が次の式を満たすときこれをカルダノトリプレット(Cardano Triplet) と呼ぶ: $$\sqrt[3]{ a + b \sqrt{c} } + \sqrt[3]{ a - b \sqrt{c} } = 1$$ 例えば, (2,1,5) はカルダノトリプレット…

Find the 200th prime-proof sqube containing the contiguous sub-string "200" Problem 200 (日本語訳) p2q3 (p, q は異なる素数)で表せる数をスキューブ(sqube)と定義する. 例えば, 200 = 5223, 120072949 = 232613 である. 最初の5つのスキューブは 72, …

Number Mind Problem 185 (日本語訳) Number Mind は, 有名なゲームMaster Mindの変種である. 色つきのペグの代わりに, 秘密の数字を推理する. 推理するごとに, 正しい桁がいくつあったかのみが伝えられる. つまり, 答えが1234で, 2036と推理した場合, 1つの…

起きたら 21:25 で絶望した コンテストと無関係な要因で順位が暴落するのは本当に悲しい

Tangent Circles Problem 510 (日本語訳) 円 A と B がお互いに, そして線分 L と異なる3点で接している. 円 C が A, B, L の内部空間にあり, それぞれ3つすべてに接している. A, B, C の半径をそれぞれ rA, rB, rC としよう. 0 A ≤ rB ≤ n に対し S(n) = Σ …

Crazy Function Problem 340 (日本語訳) 固定された整数 a, b, c に対し, crazy function F(n) を次のように定義する： F(n) = n - c （n > b のとき） F(n) = F(a + F(a + F(a + F(a + n)))) （n ≤ b のとき） また, S(a, b, c) = $ \displaystyle \sum_{n …

47-smooth triangular numbers Problem 581 p より大きい素因数を含まない数は p-smooth であるという． T を三角数の列とする．すなわち T(n) = n(n+1)/2． T(n) が 47-smooth となるような全てのインデックス n の総和を求めよ．

Super Pandigital Numbers Problem 571 正の整数 n を b 進数で表したとき，0 から b - 1 までの全ての数字が少なくとも 1 回以上現れるとき，n は 基数 b に関して pandigital であるという． さらに，2 から n までの全ての基数で同時に pandigital である…

Roots on the Rise Problem 479 (日本語訳) 式 1/x = (k/x)2(k+x2) - k x の3つの解(実数か複素数)を ak, bk, ck で表すとしよう. 例えば. k = 5 の場合, {a5, b5, c5} はおよそ {5.727244, -0.363622+2.057397i, -0.363622-2.057397i} となる. 1 ≤ p, k ≤ n…

Cyclic numbers Problem 358 (日本語訳) n 桁の巡回数はとても興味深い特性を持っている : 1,2,3,4, ... n で乗算すると, すべての積が同じ桁数になり, 同じ順番で現れ, しかも輪状に回転している！ 最小の巡回数は6桁の数 142857 である : 142857 × 1 = 142…