Project Euler - Problem 317
停滞、停滞をやっていきたい
Firecracker
空気抵抗はなく,重力加速度 g = 9.81m/s2 とする.
四捨五入して,小数点以下第 4 位までで答えよ.
爆竹を通り地面と垂直な平面でぶった切った断面を考える.適当に xy 座標系を定める.
垂直から時計回り $\theta$ の方向に飛散した破片の軌道は運動方程式をンべッと解いて
$\displaystyle y = - \frac{ g }{ 2 v_{0}^{2} \sin^{2} \theta } x^{2} + \frac{ \cos \theta }{ \sin \theta } x + 100$
のような放物線となる.少し整理するとこれは
$\displaystyle F(x, y, \theta) = g x^{2} - 2 v_{0}^{2} x \sin \theta \cos \theta + 2 v_{0}^{2} (y - 100) \sin^{2} \theta = 0$
$\theta$ の値を $0 < \theta < \pi$ の範囲で動かしたときに放物線 $F(x, y, \theta) = 0$ の通過する領域が, xy 平面における破片の通過範囲となる.
はい
外側のやんわりした放物線のようなもの,すなわち包絡線が求まってくれると嬉しいですが,これは
$\displaystyle F(x, y, \theta) = 0$
$\displaystyle \frac{ \partial }{ \partial \theta } F(x, y, \theta) = 0$
を連立させ $\theta$ を消去することで得られます.wiki でもみてください.
消去した結果,
$\displaystyle y = - \frac{ g }{ 2 v_{0}^{2} } x^{2} + \frac{ v_{0}^{2} }{ 2 g } + 100$
のようにたしかに放物線になります.
はい
あとはこれを y 軸の周りにぐるりと一回転させた通過体積を求めればおわりです.
$\displaystyle \int_{0}^{ \frac{ v_{0}^{2} }{ 2 g } + 100 } \pi x^{2} \mathrm{d} y = \int_{0}^{ \frac{ v_{0}^{2} }{ 2 g } + 100 } \pi \frac{ 2 v_{0}^{2} }{ g } \left( \frac{ v_{0}^{2} }{ 2 g } + 100 - y \right) \mathrm{d} y = \cdots = \frac{ \pi ( 200 g v_{0} + v_{0}^{3} )^{2} }{ 4 g^{3} }$
プログラミングいりませんでした.たまにこういう問題もある.